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## Inhalt:
## Kapitel 5.1 (Testen) des R-Kurses von Ruckdeschel & Kohl
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## Bitte lesen Sie 'StatistischeTests.pdf' sowie den Abschnitt 5.1.1 im Skript!
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## Wir laden den Datensatz
Daten <- read.csv2(file = 'PatientenDaten.csv')
attach(Daten)

## Patientendaten mit folgenden Variablen
## Patient: Patientennummer (1 - 31)
## Gruppe: Ausprägung einer bestimmten Erkrankung (schwach, mittel, stark)
## CRP: C-reaktives Protein (Entzündungsmarker) Werte in [0,Inf)
## SIRS-Kriterien: (Systemic Inflammatory Response Syndrom) 0, 1, 2, 3, 4

## Zusätzlich führen wir die Variable logCRP ein.
logCRP <- log(CRP)

## Darstellung der Variable logCRP mittels Boxplots
library(RColorBrewer)
mypalette <- brewer.pal(3, 'Set2')
boxplot(logCRP ~ Gruppe, col = mypalette, main = 'log-CRP-Werte')

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## Gaußtest - Einstichprobenfall
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## Wir betrachten die Variable logCRP.
library(BSDA)
ntester(logCRP)
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt mit unbekanntem 
## Erwartungswert 'mean' und bekannter Streuung 'sd' = 1.

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: 'mean' >= 4
## H1: 'mean' < 4
## Dieser Test ist nicht in der Grundinstallation von R beinhaltet.
## Es gibt eine Implementation im Paket 'BSDA'
z.test(x = logCRP[!is.na(logCRP)], alternative = 'less', mu = 4, sigma.x = 1, conf.level = 0.95)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: 'mean' == 3
## H1: 'mean' != 3
z.test(x = logCRP[!is.na(logCRP)], alternative = 'two.sided', mu = 3, sigma.x = 1, conf.level = 0.95)

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## Gaußtest - Zweistichprobenfall
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt, wobei
## in der Gruppe 'mittel': sd^2 = 1
## in der Gruppe 'stark': sd^2 = 2

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: 'mean' der Gruppe 'mittel' kleiner gleich 'mean' der Gruppe 'stark'
## H1: 'mean' der Gruppe 'mittel' größer als 'mean' der Gruppe 'stark'
z.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'greater', sigma.x = 1, sigma.y = sqrt(2), conf.level = 0.95)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: 'mean' der Gruppe 'mittel' ist gleich 'mean' der Gruppe 'stark'
## H1: 'mean' der Gruppe 'mittel' ist ungleich 'mean' der Gruppe 'stark'
z.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'two.sided', sigma.x = 1, sigma.y = sqrt(2), conf.level = 0.95)


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## In der Praxis ist 'sd' aber in der Regel unbekannt.
## Dies führt uns zum t-Test.
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## t-test - Einstichprobenfall
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## Wir betrachten die Variable logCRP.
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt mit unbekanntem 
## Erwartungswert 'mean' und unbekannter Streuung 'sd'.
## ('sd' ist ein sog. Nebenparameter und wird mittels der 
## Stichprobenstreuung mitgeschätzt)

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: 'mean' >= 4
## H1: 'mean' < 4
t.test(x = logCRP[!is.na(logCRP)], alternative = 'less', mu = 4, conf.level = 0.95)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: 'mean' == 3
## H1: 'mean' != 3
t.test(x = logCRP[!is.na(logCRP)], alternative = 'two.sided', mu = 3, conf.level = 0.95)

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## t-test - Zweistichprobenfall
## Fall gleicher Varianz: klassischer t-Test
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt, wobei
## 'sd' der Gruppe 'mittel' gleich 'sd' der Gruppe 'stark'

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: 'mean' der Gruppe 'mittel' kleiner gleich 'mean' der Gruppe 'stark'
## H1: 'mean' der Gruppe 'mittel' größer als 'mean' der Gruppe 'stark'
t.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'greater', conf.level = 0.95, var.equal = TRUE)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: 'mean' der Gruppe 'mittel' ist gleich 'mean' der Gruppe 'stark'
## H1: 'mean' der Gruppe 'mittel' ist ungleich 'mean' der Gruppe 'stark'
t.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95, var.equal = TRUE)

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## t-test - Zweistichprobenfall
## Fall ungleicher Varianz: Welch-t-Test
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt, wobei
## 'sd' der Gruppe 'mittel' ungleich 'sd' der Gruppe 'stark'

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: 'mean' der Gruppe 'mittel' kleiner gleich 'mean' der Gruppe 'stark'
## H1: 'mean' der Gruppe 'mittel' größer als 'mean' der Gruppe 'stark'
t.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'greater', conf.level = 0.95, var.equal = FALSE)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: 'mean' der Gruppe 'mittel' ist gleich 'mean' der Gruppe 'stark'
## H1: 'mean' der Gruppe 'mittel' ist ungleich 'mean' der Gruppe 'stark'
t.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95, var.equal = FALSE)

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## Wie verhält es sich nun mit den Varianzen von logCRP in den beiden Gruppen
## 'mittel' und 'stark'?
## Auch diese können wir gegeneinander testen, z.B. mit Hilfe des F-Tests.
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## F-test - Zweistichprobenfall
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt, wobei
## wir 'mean' der Gruppe 'mittel' und 'mean' der Gruppe 'stark'
## nicht kennen.

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: 'sd' der Gruppe 'mittel' kleiner gleich 'sd' der Gruppe 'stark'
## H1: 'sd' der Gruppe 'mittel' größer als 'sd' der Gruppe 'stark'
var.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'greater', conf.level = 0.95)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: 'sd' der Gruppe 'mittel' ist gleich 'sd' der Gruppe 'stark'
## H1: 'sd' der Gruppe 'mittel' ist ungleich 'sd' der Gruppe 'stark'
var.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95)


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## Generell gibt es im Zweistichprobenfall zwei Möglichkeiten.
## 1. Die beiden Stichproben sind (stochastisch) unabhängig. Diesen Fall haben
##    wir jeweils bei den obigen Tests angenommen. 
## 2. Die beiden Stichoproben sind nicht (stochastisch) unabhängig sind, z.B. 
##    zweifache Messung bei einem Patienten. In diesem Fall spricht man von 
##    einem gepaarten Test, den man mittels 'paired = TRUE' aufrufen kann.
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## Wir können aber nicht nur zwei Stichproben, sondern auch k-Stichprobenfälle
## (k > 2) betrachten.
## Wir wollen nun also simultan alle drei Gruppen 'schwach', 'mittel' und 
## 'stark' vergleichen.
## Dies führt uns auf eine sog. 1-Weg ANOVA
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## 1-Weg-ANOVA - k-Stichprobenfall
## Fall gleicher Varianz: klassische 1-Weg-ANOVA
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'schwach', 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt, wobei die
## 'sd's der Gruppen gleich seien.

## Fragestellung:
## H0: 'mean's der drei Gruppen sind gleich
## H1: 'mean's der drei Gruppen sind nicht alle gleich
oneway.test(logCRP ~ Gruppe, var.equal = TRUE, na.action = 'na.omit')

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## 1-Weg-ANOVA - k-Stichprobenfall
## Fall ungleicher Varianz: Welch Modifikation der 1-Weg-ANOVA
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'schwach', 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten sind normalverteilt, wobei die
## 'sd's der Gruppen verschieden seien.

## Fragestellung:
## H0: 'mean's der drei Gruppen sind gleich
## H1: 'mean's der drei Gruppen sind nicht alle gleich
oneway.test(logCRP ~ Gruppe, var.equal = FALSE, na.action = 'na.omit')


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## Nun wollen wir noch die Varianzen der drei Gruppen vergleichen.
## Dies ist mit dem Bartlett-Test möglich
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## Bartlett-Test: - k-Stichprobenfall
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'schwach', 'mittel' und 'stark' bzgl. ihrer Varianzen vergleichen.

## Fragestellung:
## H0: 'sd's der drei Gruppen sind gleich
## H1: 'sd's der drei Gruppen sind nicht alle gleich
bartlett.test(logCRP ~ Gruppe, na.action = 'na.omit')


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## Im Fall, dass man mehr als 2 Gruppen miteinander vergleicht und man
## einen signifikanten Unterschied erhält, möchte man wissen, durch welchen
## Gruppenunterschied die Signifikanz ausgelöst wird. Dieses Problem kann man 
## mittels sog. post hoc Tests attackieren; vgl. etwa 'TukeyHSD' oder 
## 'pairwise.t.test'.
## Da man hierfür mehrere Tests simultan durchführen muss, verwendet man 
## zusätzlich Korrekturen für das Signifikanzniveau; d.h., ein falsch positives
## Testergebnis soll z.B. nur mit Wahrscheinlichkeit <= alpha vorkommen.
## Stichwort: 'Multiples Testproblem', 'multiple comparisons'
## vgl. http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_comparisons
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## Wir verlassen nun den Bereich der Normalverteilungsannahme und gehen 
## über zu sogenannten nichtparametrischen Tests.
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## Wilcoxon-test (heißt auch Mann-Whitney-Test) - Einstichprobenfall
## Dieser Test basiert auf den Rängen (Anordnung der Daten).
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## Wir betrachten wieder die Variable logCRP und nehmen nun allgemeiner an, es 
## liege eine stetige, symmetrische Verteilung vor. Das Symmetriezentrum 
## ist der Median.

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: Symmetriezentrum (Median) >= 4
## H1: Symmetriezentrum (Median) < 4
wilcox.test(x = logCRP[!is.na(logCRP)], alternative = 'less', mu = 4, exact = TRUE, 
            conf.level = 0.95)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: Symmetriezentrum (Median) == 3
## H1: Symmetriezentrum (Median) != 3
wilcox.test(x = logCRP[!is.na(logCRP)], alternative = 'two.sided', mu = 3, 
            exact = TRUE, conf.level = 0.95)


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## Wilcoxon-test (heißt auch Mann-Whitney-Test) - Zweistichprobenfall
## Dieser Test basiert auf den Rängen (Anordnung der Daten)
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten folgen jeweils einer stetigen, symmetrischen
## Verteilung (bzw. beide Verteilungen von gleicher Form).

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'mittel' kleiner gleich 
##     Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'stark'.
## H1: Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'mittel' größer 
##     Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'stark'.
wilcox.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'greater', conf.level = 0.95)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'mittel' ist gleich 
##     Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'stark'.
## H1: Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'mittel' ist ungleich 
##     Symmetriezentrum (Median) der Gruppe 'stark'.
wilcox.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95)

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## Die Funktion wilcox.test kann im Fall von gleichen Werten keinen
## exakten p-Wert berechnen. In diesem Fall ist es möglich, auf die Funktion
## 'wilcox.exact' aus dem Paket 'exactRankTests' auszuweichen.
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## Wie verhält es sich nun mit den Varianzen bzw. Streuungen von logCRP in 
## den beiden Gruppen 'mittel' und 'stark'?
## Auch diese können wir gegeneinander testen, z.B. mit Hilfe des 
## Ansari-Bradley-Tests.
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## Ansari-Bradley-Test
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Streung der Werte für
## die Gruppen 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten stammen von absolut stetigen Verteilungen 
## mit Dichten, die sich nur in der Streuung unterscheiden.

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: Streuung in der Gruppe 'mittel' kleiner gleich Streuung in der 
##     Gruppe 'stark'
## H1: Streuung in der Gruppe 'mittel' größer als Streuung in der Gruppe 
##     'stark'
ansari.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'greater', conf.level = 0.95)

## 2. Fragestellung: (zweiseitig)
## H0: Streuung in der Gruppe 'mittel' ist gleich Streuung in der Gruppe 'stark'
## H1: Streuung in der Gruppe 'mittel' ist ungleich Streuung in der Gruppe 'stark'
ansari.test(x = logCRP[Gruppe == 'mittel'], y = logCRP[Gruppe == 'stark'], 
alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95)

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## Die Funktion ansari.test kann im Fall von gleichen Werten keinen
## exakten p-Wert berechnen. In diesem Fall ist es möglich, auf die Funktion
## 'ansari_test' aus dem Paket 'coin' auszuweichen.
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## Es gibt auch eine nichtparametrische Alternative zur 1-Weg-ANOVA
## der Kruskal-Wallis-Test
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'schwach', 'mittel' und 'stark' vergleichen.
## Wir nehmen an, die Daten folgen jeweils einer stetigen, symmetrischen
## Verteilung.

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## Kruskal-Wallis-Test: k-Stichprobenfall
## Dieser Test basiert auf den Rängen (Anordnung der Daten)
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kruskal.test(logCRP ~ Gruppe, na.action = 'na.omit')


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## Eine nichtparametrische Alternative zum Bartlett-Test ist der
## Fligner-Killeen-Test
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## Fligner-Killeen-Test: - k-Stichprobenfall
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## Wir betrachten die Variable logCRP und wollen die Werte der 
## Gruppen 'schwach', 'mittel' und 'stark' bzgl. ihrer Varianzen vergleichen.

## Fragestellung:
## H0: Varianzen der drei Gruppen sind gleich
## H1: Varianzen der drei Gruppen sind nicht alle gleich
fligner.test(logCRP ~ Gruppe, na.action = 'na.omit')


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## Wir betrachten nun die relativen Häufigkeiten innerhalb der Variable 
## Gruppe.
## Möchten wir die relative Häufigkeit einer Gruppe mit einem fixen Wert
## vergleichen, so führt dies zum Binomialtest
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## Binomialtest - Einstichprobenfall
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## Wir betrachten die Variable Gruppe und darin die Gruppe 'stark'
## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: Wahrscheinlichkeit einer starken Ausprägung der Erkrankung ist größer 
##     gleich 50%
## H1: Wahrscheinlichkeit einer starken Ausprägung der Erkrankung ist kleiner 50%
(x1 <- sum(Gruppe == 'stark'))
(x2 <- sum(Gruppe != 'stark'))
(n <- length(Gruppe))
binom.test(x = c(x1, x2), p = 0.5, alternative = 'less', conf.level = 0.95)
## oder
binom.test(x = x1, n = n, p = 0.5, alternative = 'less', conf.level = 0.95)

## 1. Fragestellung: (einseitig)
## H0: Wahrscheinlichkeit einer starken Ausprägung der Erkrankung ist gleich 50%
## H1: Wahrscheinlichkeit einer starken Ausprägung der Erkrankung ist ungleich 50%
binom.test(x = c(x1, x2), p = 0.5, alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95)
## oder
binom.test(x = x1, n = n, p = 0.5, alternative = 'two.sided', conf.level = 0.95)

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## Wir betrachten nun die relativen Häufigkeiten innerhalb der Variable 
## Gruppe und möchten die relative Häufigkeiten von k Gruppen (k >= 2) 
## vergleichen.
## Dies führt uns zum Exakten Test von Fisher
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## Exakter Test von Fisher - k-Stichprobenfall (k >= 2)
## r x s - Kontingenztafel
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## Wir betrachten die Variable SIRS.Kriterien für die verschiedenen Gruppen
## und erhalten also eine sog. 3 x 5 Kontigenztabel
tapply(SIRS.Kriterien, list(Gruppe), table)
M <- matrix(c(1, 0, 6, 8, 2,
              0, 0, 2, 3, 2,
              0, 0, 1, 2, 4), byrow = TRUE, ncol = 5)
fisher.test(M, conf.level = 0.95)

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## Eine (asymptotische) Alternative zum exakten Test von Fisher ist der
## chi^2-Test.
## Im vorliegenden Beispiel ist dieser jedoch aufgrund der zu niedrigen 
## Zellzahlen nicht zulässig.
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chisq.test(M)

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## Korrelationstest
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## Korrelationsmaße
## Pearson: klassischer Korrelationskoeffizient
## Spearman: basiert auf Rängen (Anordnung der Daten),
##           Pearson mit den Rängen der Daten
## Kendall: basiert auf Rängen (Anordnung der Daten)

## Wir betrachten die Variablen CRP, logCRP und SIRS.Kriterien wollen 
## Korrelation zwischen diesen Variablen untersuchen.

## Wir betrachten nur die zweiseitige Fragestellung, also
## H0: Korrelation == 0
## H1: Korrelation != 0

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## 1. Pearson
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cor.test(x = CRP, y = SIRS.Kriterien)
## unterscheidet sich von
cor.test(x = logCRP, y = SIRS.Kriterien)

## Da die Variable SIRS.Kriterien lediglich ordinal ist, ist die Anwendung
## der Rangkorrelationskoeffizienten besser geeignet.

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## 2. Spearman
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cor.test(x = CRP, y = SIRS.Kriterien, method = 'spearman')
## Kein Unterschied! 
## (log ist eine monotone Transformation; d.h., verändert die Ränge nicht!)
cor.test(x = logCRP, y = SIRS.Kriterien, method = 'spearman')

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## 3. Kendall
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cor.test(x = CRP, y = SIRS.Kriterien, method = 'kendall')
## Kein Unterschied! 
## (log ist eine monotone Transformation; d.h., verändert die Ränge nicht!)
cor.test(x = logCRP, y = SIRS.Kriterien, method = 'kendall')


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## Normalverteilungs bzw. Anpassungstests
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## H0: P == N(mu, sigma^2) (Normalverteilung mit Parameter mu und sigma)
## H1: P != N(mu, sigma^2)

## 1. Möglichkeit: qq-Plots
## Wir betrachten die Variable logCRP
qqnorm(logCRP)
qqline(logCRP)

## Die Weiterführung des Pakets BSDA ist das Paket PASWR
## http://www1.appstate.edu/~arnholta/PASWR/index.htm
## bzw.
## http://www1.appstate.edu/~arnholta/PASWR/PASWRpackageR/PASWR_1.0.zip
## http://www1.appstate.edu/~arnholta/PASWR/PASWRpackageR/PASWR_1.0.tar.gz
library(PASWR)
ntester(logCRP)

## Im Fall von ntester wird neben dem Vergleich mit simulierten,
## normalverteilten Daten der p-Wert des Shapiro-Wilk-Tests mit ausgegeben.

## 2. Möglichkeit: Shapiro-Wilk-Test
shapiro.test(logCRP)

## 3. Möglichkeit: Kolmogorov-(Smirnov)-Test
## Ist allgemeiner und funktioniert nicht nur für Normalverteilungen.
## Jedoch: Ist der in der Funktion ks.test implementierte Test 
## im 1-Stichprobenfall nicht in der Lage die Parameter der Verteilung
## mitzuschätzen.
ks.test(logCRP, 'pnorm') ## testet gegen H0: P = N(0, 1)!!!

## Ausweg: Paket 'nortest' oder Paket 'fBasics'
## Sind die Parameter mitzuschätzen spricht man auch vom Lilliefors-Test
library(nortest)
lillie.test(logCRP)
## oder
library(fBasics)
lillieTest(logCRP)

## 4. Möglichkeit: (Pearson) chi^2-Test
## Allgemeiner Anpassungstest
## Für Normalverteilungen implementiert in 'nortest' und 'fBasics'
pearson.test(logCRP) ## aus Paket 'nortest'
## oder
pchiTest(logCRP[!is.na(logCRP)])

## aber nur mit Einschränkungen gültig; vgl. ?pearson.test!!!

## Viele weitere Möglichkeiten zum Testen auf Normalverteilung
## In 'nortest' und 'fBasics'
## Anderson-Darling Test
ad.test(logCRP)
## oder
adTest(logCRP[!is.na(logCRP)])

## Cramer-von-Mises Test
cvm.test(logCRP)
## oder
cvmTest(logCRP[!is.na(logCRP)])

## Shapiro-Francia Test
sf.test(logCRP)
## oder
sfTest(logCRP[!is.na(logCRP)])

## Jarque-Bera Test
jarqueberaTest(logCRP[!is.na(logCRP)])
## jbTest(logCRP[!is.na(logCRP)]) -> Bug?

## D'Agostino Test
dagoTest(logCRP[!is.na(logCRP)])


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## Das Paket fBasics stellt noch weitere Funktionalität zur Verfügung
## zum Beispiel
basicStats(logCRP)
qqnormPlot(logCRP[!is.na(logCRP)])
histPlot(logCRP[!is.na(logCRP)])
densityPlot(logCRP[!is.na(logCRP)])
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## Zum Abschluss entfernen wir den data.frame 'Daten' vom Suchpfad
detach(Daten)